[알고리즘] 신장 트리 - 크루스칼 알고리즘 (Spanning Tree - Kruskal Algorithm)

• 신장 트리는 하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하는 부분 그래프를 의미한다.
• 크루스칼 알고리즘은 가능한 최소 비용의 신장 트리를 찾아주는 알고리즘이다. 간선을 정렬한 뒤에 간선의 비용이 작은 순서대로 차례대로 최소 신장 트리를 만들어 가는 그리디 알고리즘의 일종이다.

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신장 트리

신장 트리는 그래프 알고리즘 문제로 자주 출제되는 문제 유형이다. 기본적으로 신장 트리란 하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의미한다.

크루스칼 알고리즘

우리는 다양한 문제 상황에서 가능한 한 최소한의 비용으로 신장 트리를 찾아야 할 때가 있다. 이처럼 신장 트리 중에서 최소 비용으로 만들 수 있는 신장 트리를 찾는 알고리즘을 '최소 신장 트리 알고리즘'이라고 한다. 대표적인 신장 트리 알고리즘으로는 크루스칼 알고리즘이 있다.

 

크루스칼 알고리즘을 사용하면 가장 적은 비용으로 모든 노드를 연결할 수 있는데 크루스칼 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류된다. 먼저 모든 간선에 대하여 정렬을 수행한 뒤에 가장 거리가 짧은 간선부터 집합에 포함시키면 된다. 구체적인 알고리즘은 다음과 같다.

 

    1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬한다. 

   

    2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인한다.

        - 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킨다.

        - 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다.

 

    3. 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복한다.

 

최소 신장 트리는 일종의 트리 자료구조이므로, 최종적으로 신장 트리에 포함되는 간선의 개수가 '노드의 개수 - 1'과 같다는 특징이 있다. 따라서 크루스칼 알고리즘의 핵심 원리는 사이클을 발생시키는 간선은 제외하고 가장 거리가 짧은 간선부터 차례대로 집합에 추가하면 된다는 것이다.

 

최소 신장 트리를 만드는데 필요한 비용을 계산하는 크루스칼 알고리즘의 소스코드는 다음과 같다.

# 특정 원소가 속한 집합 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니면 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드와 간선의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화

edges = []  # 모든 간선
result = 0  # 최종 비용

# 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# 모든 간선에 대한 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b, cost = map(int, input().split())
    # 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
    edges.append((cost, a, b))

# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()

# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
    cost, a, b = edge
    # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
        union_parent(parent, a, b)
        result += cost

print(result)

 

크루스칼 알고리즘의 간선의 개수가 E개일 때, O(ElogE)의 시간 복잡도를 가진다. 왜냐하면 크루스칼 알고리즘에서 시간이 가장 오래 걸리는 부분이 간선을 정렬하는 작업이며, E개의 데이터를 정렬했을 때의 시간 복잡도는 O(ElogE)이기 때문이다.