[알고리즘] 서로소 집합 (Disjoint Sets Algorithm)

• 서로소 집합은 공통 원소가 없는 두 집합이다.
• 서로소 집합 알고리즘은 union-find 연산으로 구성되며, 모든 노드는 자신이 속한 집합을 찾을 때 루트 노드를 재귀적으로 찾는다.

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서로소 집합

수학에서 서로소 집합이란 공통 원소가 없는 두 집합을 의미한다. 서로소 집합 자료구조란 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조라고 할 수 있다. 서로소 집합 자료구조는 union과 find 2개의 연산으로 조작할 수 있다.

 

union(합집합) 연산은 2개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합을 합치는 연산이다. find(찾기) 연산은 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산이다.

 

서로소 집합 자료구조는 union-find(합치기 찾기) 자료구조라고 불기기도 한다.

 

서로소 집합 자료구조를 구현할 때는 트리 자료구조를 이용하여 집합을 표현하는데, 서로소 집합 정보가 주어졌을 때 트리 자료구조를 이용해서 집합을 표현하는 서로소 집합 계산 알고리즘은 다음과 같다.

 

 

1. union(합집합) 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인한다. 
   1. A와 B의 루트 노드 A', B'를 각각 찾는다.
   2. A'를 B'의 부모 노드로 설정한다. (B'가 A'를 가리키도록 한다)
2. 모든 union(합집합) 연산을 처리할 때까지 1번 과정을 반복한다.

이것이 트리를 이용해 서로소 집합을 계산하는 알고리즘이다. 또한 실제로 구현할 때는 A'와 B' 중에서 더 번호가 작은 원소가 부모 노드가 되도록 구현하는 경우가 많다.

 

union 연산을 하나씩 확인하면서 서로 다른 두 원소에 대해 합집합을 수행해야 할 때는, 각각 루트 노드를 찾아서 더 큰 루트 노드가 더 작은 루트 노드를 가리키도록 하면 된다.

 

기본적인 서로소 집합 알고리즘의 소스코드는 다음과 같다.

# 특정 원소가 속한 집합 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니면 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        return find_parent(parent, parent[x])
    return x

# 두 원소가 속한 집합 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드와 간선의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화

# 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(find_parent(parent, i), end=' ')

print()

# 부모 테이블 내용 출력
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(parent[i], end=' ')

 

이렇게 구현하면 답을 구할 수는 있지만, find 함수가 비효율적으로 동작한다. 최악의 경우 find 함수가 모든 노드를 다 확인하는 터라 시간 복잡도가 O(V)이다.

 

이러한 find 함수는 아주 간단한 과정인 경로 압축 기법을 적용하면 최적화가 가능하여 시간 복잡도를 개선시킬 수 있다.

경로 압축은 find 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값을 갱신하는 기법이다.

 

기존의 find 함수를 다음과 같이 변경하면 경로 압축 기법의 구현이 완료된다.

def find_parent(parent, x):
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

 

개선된 서로소 집합 알고리즘 소스코드

# 특정 원소가 속한 집합 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니면 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드와 간선의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화

# 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(find_parent(parent, i), end=' ')

print()

# 부모 테이블 내용 출력
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(parent[i], end=' ')

 

서로소 집합 알고리즘을 구현할 때, 경로 압축을 제외하고도, 시간 복잡도를 줄일 수 있는 방법은 여러 가지가 더 있지만 코딩테스트 수준에서는 경로 압축만 적용해도 충분하다.

서로소 집합을 활용한 사이클 판별

서로소 집합은 다양한 알고리즘에 사용될 수 있다. 특히 서로소 집합은 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 때 사용할 수 있다. 방향 그래프에서의 사이클 여부는 DFS를 이용하여 판별할 수 있다.

 

서로소 집합을 활용해 사이클을 판별하는 알고리즘은 다음과 같다.

 

 

1. 각 간선을 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다.
   1. 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 union 연산을 수행한다.
   2. 루트 노드가 서로 같다면 사이클이 발생한 것이다.
2. 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복한다.

이러한 사이클 판별 알고리즘은 그래프에 포함되어 있는 간선의 개수가 E개일 때 모든 간선을 하나씩 확인하며, 매 간선에 대하여 union 및 find 함수를 호출하는 방식으로 동작한다. 이 알고리즘은 간선에 방향성이 없는 무향 그래프에서만 적용 가능하다.

 

서로소 집합을 활용한 사이클 판별 소스코드

# 특정 원소가 속한 집합 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니면 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드와 간선의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화

# 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

cycle = False # 사이클 발생 여부

for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    # 사이클이 발생하면 종료
    if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
        cycle = True
        break
    # 사이클이 발생하지 않았으면 합집합 연산 수행
    else:
        union_parent(parent, a, b)

if cycle:
    print("사이클이 발생했습니다.")
else:
    print("사이클이 발생하지 않았습니다.")