[알고리즘] 위상 정렬 (Topology Sort)

• 위상 정렬 알고리즘은 방향 그래프의 모든 노드들을 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 정렬 기법을 의미한다.

---

위상 정렬

위상 정렬은 정렬 알고리즘의 일종이다. 위상 정렬은 순서가 정해져 있는 일련의 작업을 차례대로 수행해야 할 때 사용할 수 있는 알고리즘이다.

 

조금 더 이론적으로 설명하자면, 위상 정렬이란 방향 그래프의 모든 노드를 '방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것'이다.

 

위상 정렬 알고리즘을 자세히 살펴보기 전에, 먼저 진입차수를 알아야 한다. 진입차수란 특정한 노드로 '들어오는' 간선의 개수를 의미한다.

 

위상 정렬 알고리즘은 다음과 같다.

 

    1. 진입차수가 0인 노드를 큐에 넣는다.

 

    2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.

        1. 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거한다.

        2. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.

 

알고리즘에서 확인할 수 있듯이 큐가 빌 때까지 큐에서 원소를 계속 꺼내서 처리하는 과정을 반복한다. 이때 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있다.

 

위상 정렬 소스코드

from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
    # 진입 차수를 1 증가
    indegree[b] += 1

# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
    result = [] # 결과를 담을 리스트
    q = deque() # 큐 기능을 위한 deque

    # 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v + 1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)

    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)

    # 위상 정렬 결과 출력
    for i in result:
        print(i, end=' ')

topology_sort()

위상 정렬의 시간 복잡도는 O(V+E)이다. 위상 정렬을 수행할 때는 차례대로 모든 노드를 확인하면서, 해당 노드에서 출발하는 간선을 차례대로 제거해야 한다. 결과적으로 노드와 간선을 모두 확인한다는 측면에서 O(V+E)의 시간이 소요된다.