[알고리즘] 다익스트라 / 플로이드 워셜 - 최단 경로 알고리즘 (Dijkstra / Floyd Warshall - Shortest Path Algorithm)

• 다익스트라 알고리즘은 한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 계산하는 알고리즘이다.
• 플로이드 워셜 알고리즘은 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 계산하는 알고리즘이다.
• 다익스트라의 시간 복잡도는 간단하게 구현하면 O(V²)이고 개선된 방법은 O(ElogV)이다.
• 플로이드 워셜의 시간 복잡도는 O(V³)이다.

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최단 경로 알고리즘은 말 그대로 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘이다. 그래서 '길 찾기' 문제라고도 불린다. 최단 경로 알고리즘 유형에는 다양한 종류가 있는데, 상황에 맞는 효율적인 알고리즘이 이미 정립되어 있다.

 

최단 경로 문제는 보통 그래프를 이용해 표현하는데 각 지점은 그래프에서 '노드'로 표현되고, 지점 간 연결된 도로는 그래프에서 '간선'으로 표현된다. 컴퓨터공학과 학부 수준에서 사용하는 최단 거리 알고리즘은 다익스트라 최단 경로 알고리즘, 플로이드 워셜, 벨만 포드 알고리즘, 이렇게 3가지이다.

 

그중에서 다익스트라, 플로이드 워셜에 대해서 정리해 보았다.

다익스트라 최단 경로 알고리즘

다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘이다.

 

다익스트라 최단 경로 알고리즘은 기본적으로 그리디 알고리즘으로 분류된다. 매번 '가장 비용이 적은 노드'를 선택해서 임의의 과정을 반복하기 때문이다. 알고리즘의 원리를 간략히 설명하면 다음과 같다.

 

1. 출발 노드를 설정한다.
2. 최단 거리 테이블을 초기화한다.
3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
5. 위 과정에서 3번과 4번을 반복한다.

다익스트라 알고리즘은 최단 경로를 구하는 과정에서 '각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리' 정보를 항상 1차원 리스트에 저장하며 리스트를 계속 갱신한다는 특징이 있다.

 

다익스트라 최단 경로 알고리즘에서는 '방문하지 않은 노드 중에서 가장 최단 거리가 짧은 노드를 선택'하는 과정을 반복하는데, 이렇게 선택된 노드는 '최단 거리'가 완전히 선택된 노드이므로, 더 이상 알고리즘을 반복해도 최단 거리가 줄어들지 않는다. 다시 말해 다익스트라 알고리즘이 진행되면서 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있다.

 

다익스트라 알고리즘을 구현하는 방법은 2가지이다. 먼저 첫 번째는 구현하기 쉽지만 느리게 동작하는 코드로 처음에 각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1차원 리스트를 선언한다. 이후에 단계마다 '방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택'하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차 탐색)한다. 이런 방식으로 구현하면 시간 복잡도는 O(V²)이다. 따라서 이 방법으로 구현한다면 노드의 개수가 10,000개를 넘어가는 문제라면 해결하기 어렵다. 그래서 개선된 다익스트라 알고리즘을 이용해야 한다.

 

개선된 다익스트라 알고리즘은 힙 자료구조를 사용하여 특정 노드까지의 최단 거리에 대한 정보를 힙에 담아서 처리하므로 출발 노드로부터 가장 거리가 짧은 노드를 더욱 빠르게 찾을 수 있다. 이 방법을 사용하면 시간 복잡도가 O(ElogV)로 첫 번째 방법보다 훨씬 빠르다.

플로이드 워셜 알고리즘

플로이드 워셜 알고리즘은 '모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우'에 사용할 수 있는 알고리즘이다. 다이나믹 프로그래밍을 이용하여 단계마다 '거쳐 가는 노드'를 기준으로, 최단 거리 테이블을 갱신하는 방식으로 동작한다.

 

다음의 점화식만 기억하면 큰 어려움 없이 구현할 수 있다.

Dab = min(Dab, Dak + Dkb)

 

다음과 같이 3중 반복문을 이용해 구현할 수 있다.

 

for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            adj[a][b] = min(adj[a][b], adj[a][k] + adj[k][b])

 

실제 코딩 테스트에서 겉보기에 최단 경로 문제로 보이지 않더라도, 최소 비용을 구해야 하는 다양한 문제에 최단 경로 알고리즘을 적용할 수 있는 경우가 많기 때문에 구현 방법을 기억해 놓아야 한다.